高等几何（仿射，射影几何等） 对于 计算机图形学，计算机视觉等研究是非常重要的基础知识。

我是国内工科毕业，现在美国读计算机视觉的博士。以前觉得自己的数学很好，其实只是会考试，会计算，会一些小技巧而已。并不真懂数学。

真正使我在数学方面有了一些真切理解的，是我在深入的思考了线性代数和高等几何之后的事情了。

其实微积分是比较简单的，而且学习的思路可以沿袭中国中学数学的学习思路。但是线性代数（以及泛函分析）和高等几何其中蕴涵的方法，思路跟我们传统的数学内容有较大的区别了。如果仅仅满足于会做微积分，会解题，那并不困难，但是要真正理解数学，可能需要对线性代数和高等几何下一番功夫了。

我这里仅仅是就一个一般工程师所需要的数学素养而言的，对于特定的研究，可能还需要有一些专门的数学知识。对于数学专业的，我觉得你有足够的时间去思考，揣摩数学到底本质是什么了。

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线性代数，国内的教学，以前一上来就是行列式，有很多复杂的行列式计算题目，其实这根本不反映线性代数的根本的思想。我觉得线性代数从应用方面，应该强调解方程组，包括矛盾方程组（最小二乘法）；在实际中最有用的是一般的矩阵（m！＝n），而不是方阵。就数学思想方面来说，向量空间，线性空间的概念是现代数学的核心基础观念，其重要性超过微积分。

对工程实践中大量存在的线性问题，线性代数，数值线性代数，是最重要的工具。数值线性代数的重要性超过数值分析。

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高等几何，主要是向大家揭示了多种不同公理体系并行存在的可能性。非欧几何对一个人对数学的理解是非常必要的冲击。光知道欧氏几何，不知道射影几何，非欧几何，对公理化数学的理解必然保留在一个低的水平上。希尔波特的 几何公理 一书 本身没有用到多少高深的概念，但是其反映的是现代公理化思想。

射影几何本身在数学研究内，已经死掉了，正如，现在的数学家不会成天研究平面欧式几何的难题一样，尽管有些初中生就能看懂的平面几何题目可能难倒不少数学家。但是射影几何在应用上，尤其是计算机图形学上，是个基础。

基于上面的分析，我觉得一个真正希望打好数学基础的人，应该相当注意代数，几何的继续学习，不要停留在满足于知道一个名词，会算，要真正去思考，领会这些东西的实质。

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关于数学历史学习的一些建议

学习数学，不了解历史，很容易自卑。看着教科书上的严谨和美轮美奂，一个人很容易怀疑自己的智力。但是当你了解了历史上数学发展过程的种种曲折之后，你就知道，其实这些都是经过整理，包装后的结果。

历史上一些革命性的观念，多是朴素的。最初的发现者，未必就清楚的明了其发现的价值。

而很多有价值的观念，来自于科学，工程的实践。

了解一个观念，一个理论产生，发展，修缮的历史，对于真正的理解他，对于一个人真正进入“角色”，有极其重要的意义。

如果光是看教科书，而不看数学历史的话，就如同历史研究者光看正史，不看野史一样，掌握的东西很可能是不完整，不全面的。

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中国高等数学教育缺陷刍议

我简单的罗列一下我的看法，具体内容尚待日后补充。

1 重计算，轻思想
2 重微积分，轻代数，几何
3 重理论严谨，轻实际应用
4 与计算机时代的要求不相衔接
5 重抽象，轻直观

按照中国高等工程数学的教学标准，笔者算一个相当好的学生，但是真正回想起来，中国高等工程教育给我的，只是会解一些题目，掌握一些手算技巧罢了。对于真正的数学思想，领会的不多，更不用说得心应手的予以运用了。